Чтобы решать задачи правильно, нужно знать две вещи:

• объём — сколько вмещается внутри,
• площадь поверхности — сколько материала нужно, чтобы её покрыть.

Мы разберём всё по порядку:
четко, без лишней сложности, с примерами.

Цилиндр: объём и площадь боковой и полной поверхности

Цилиндр — это как столб или банка.
Имеет два одинаковых круглых основания и боковую поверхность.

Объём цилиндра: V = πr²h

Чтобы найти, сколько в нём “помещается”, умножаем площадь основания на высоту.

Формула:
V = π × r² × h
Где:

• r — радиус основания,
• h — высота цилиндра.

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
V = π × 9 × 10 = 90π ≈ 282,6 см³

Площадь поверхности цилиндра: S = 2πr² + 2πrh

Полная площадь — это два основания + боковая поверхность.

• Площадь двух кругов: 2πr²
• Боковая поверхность (развёртка — прямоугольник): 2πrh

Итого:
S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)

Пример:
r = 3 см, h = 10 см
S = 2π×3×(3 + 10) = 6π×13 = 78π ≈ 245 см²

Запомните:

• Объём — в кубических единицах (см³, м³),
• Площадь — в квадратных (см², м²).

Конус: острый, но предсказуемый

Конус — как рожок мороженого или колпак.
Есть круглое основание и вершина.

Объём конуса: V = ⅓πr²h

Объём конуса в три раза меньше, чем у цилиндра с теми же r и h.

Формула:
V = ⅓ × π × r² × h
Где:

• r — радиус основания,
• h — высота (от центра основания до вершины).

Пример:
r = 4 м, h = 6 м
V = ⅓ × π × 16 × 6 = 32π ≈ 100,5 м³

Площадь поверхности конуса: S = πr² + πrl

Состоит из:

• Круглого основания: πr²,
• Боковой поверхности: πrl,
  где l — образующая (расстояние от вершины до края основания).

Формула:
S = πr(r + l)

Пример:
r = 4 м, l = 5 м
S = π×4×(4 + 5) = 4π×9 = 36π ≈ 113,04 м²

️ Важно: если даны высота и радиус, но нет образующей — найдите её по теореме Пифагора:
l = √(r² + h²)

Шар: идеальная фигура

Шар — это трёхмерная сфера.
У него нет рёбер, граней, только радиус.

Объём шара: V = ⁴⁄₃πr³

Чем больше радиус, тем быстрее растёт объём — ведь он в кубе.

Формула:
V = ⁴⁄₃ × π × r³

Пример:
r = 3 см
V = ⁴⁄₃ × π × 27 = 36π ≈ 113,04 см³

Площадь поверхности шара: S = 4πr²

Это площадь всей внешней оболочки — как кожура арбуза.

Формула:
S = 4 × π × r²

Пример:
r = 5 м
S = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314 м²

Интересно:
Площадь поверхности шара равна площади четырёх кругов того же радиуса.

Как запомнить формулы? Простые подсказки

Не пытайтесь вызубрить всё.
Лучше поймите логику:

Советы:

• У конуса объём — с коэффициентом ⅓,
• У шара — ⁴⁄₃ и r³,
• Площадь шара — 4πr², как 4 круга,
• У цилиндра и конуса — πr² в основании.